3.46 \(\int (c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc ^2(a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=137 \[ -\frac{6 i d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 d^4 \text{PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{2 d (c+d x)^3 \cot (a+b x)}{b^2}-\frac{(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{2 i d (c+d x)^3}{b^2} \]

[Out]

((-2*I)*d*(c + d*x)^3)/b^2 - (2*d*(c + d*x)^3*Cot[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^4*Csc[a + b*x]^2)/(2*b) + (6*d^2*
(c + d*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))])/b^3 - ((6*I)*d^3*(c + d*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4 + (3
*d^4*PolyLog[3, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^5

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.256067, antiderivative size = 137, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 7, integrand size = 22, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.318, Rules used = {4410, 4184, 3717, 2190, 2531, 2282, 6589} \[ -\frac{6 i d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 d^4 \text{PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{2 d (c+d x)^3 \cot (a+b x)}{b^2}-\frac{(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{2 i d (c+d x)^3}{b^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^4*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2,x]

[Out]

((-2*I)*d*(c + d*x)^3)/b^2 - (2*d*(c + d*x)^3*Cot[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^4*Csc[a + b*x]^2)/(2*b) + (6*d^2*
(c + d*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))])/b^3 - ((6*I)*d^3*(c + d*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4 + (3
*d^4*PolyLog[3, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^5

Rule 4410

Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp
[((c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^n)/(b*n), x] + Dist[(d*m)/(b*n), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Csc[a + b*x]^n, x], x] /; Fr
eeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[p, 1] && GtQ[m, 0]

Rule 4184

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((c + d*x)^m*Cot[e + f*x])/f, x]
+ Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cot[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 3717

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(I*(c + d*x)^(m + 1))/(d*
(m + 1)), x] - Dist[2*I, Int[((c + d*x)^m*E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x)))/(1 + E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x)))
, x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IntegerQ[4*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc ^2(a+b x) \, dx &=-\frac{(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{(2 d) \int (c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \, dx}{b}\\ &=-\frac{2 d (c+d x)^3 \cot (a+b x)}{b^2}-\frac{(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{\left (6 d^2\right ) \int (c+d x)^2 \cot (a+b x) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{2 i d (c+d x)^3}{b^2}-\frac{2 d (c+d x)^3 \cot (a+b x)}{b^2}-\frac{(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{\left (12 i d^2\right ) \int \frac{e^{2 i (a+b x)} (c+d x)^2}{1-e^{2 i (a+b x)}} \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{2 i d (c+d x)^3}{b^2}-\frac{2 d (c+d x)^3 \cot (a+b x)}{b^2}-\frac{(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{\left (12 d^3\right ) \int (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac{2 i d (c+d x)^3}{b^2}-\frac{2 d (c+d x)^3 \cot (a+b x)}{b^2}-\frac{(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^3 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{\left (6 i d^4\right ) \int \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^4}\\ &=-\frac{2 i d (c+d x)^3}{b^2}-\frac{2 d (c+d x)^3 \cot (a+b x)}{b^2}-\frac{(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^3 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{\left (3 d^4\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(x)}{x} \, dx,x,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^5}\\ &=-\frac{2 i d (c+d x)^3}{b^2}-\frac{2 d (c+d x)^3 \cot (a+b x)}{b^2}-\frac{(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^3 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 d^4 \text{Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^5}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 6.60207, size = 504, normalized size = 3.68 \[ -\frac{6 c d^3 \csc (a) \sec (a) \left (\frac{\tan (a) \left (i \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i \left (\tan ^{-1}(\tan (a))+b x\right )}\right )+i b x \left (2 \tan ^{-1}(\tan (a))-\pi \right )-2 \left (\tan ^{-1}(\tan (a))+b x\right ) \log \left (1-e^{2 i \left (\tan ^{-1}(\tan (a))+b x\right )}\right )+2 \tan ^{-1}(\tan (a)) \log \left (\sin \left (\tan ^{-1}(\tan (a))+b x\right )\right )-\pi \log \left (1+e^{-2 i b x}\right )+\pi \log (\cos (b x))\right )}{\sqrt{\tan ^2(a)+1}}+b^2 x^2 e^{i \tan ^{-1}(\tan (a))}\right )}{b^4 \sqrt{\sec ^2(a) \left (\sin ^2(a)+\cos ^2(a)\right )}}-\frac{e^{i a} d^4 \csc (a) \left (-6 e^{-2 i a} \left (-1+e^{2 i a}\right ) \left (b x \text{PolyLog}\left (2,-e^{-i (a+b x)}\right )-i \text{PolyLog}\left (3,-e^{-i (a+b x)}\right )\right )-6 e^{-2 i a} \left (-1+e^{2 i a}\right ) \left (b x \text{PolyLog}\left (2,e^{-i (a+b x)}\right )-i \text{PolyLog}\left (3,e^{-i (a+b x)}\right )\right )+2 e^{-2 i a} b^3 x^3+3 i \left (1-e^{-2 i a}\right ) b^2 x^2 \log \left (1-e^{-i (a+b x)}\right )+3 i \left (1-e^{-2 i a}\right ) b^2 x^2 \log \left (1+e^{-i (a+b x)}\right )\right )}{b^5}+\frac{2 \csc (a) \csc (a+b x) \left (3 c^2 d^2 x \sin (b x)+c^3 d \sin (b x)+3 c d^3 x^2 \sin (b x)+d^4 x^3 \sin (b x)\right )}{b^2}+\frac{6 c^2 d^2 \csc (a) (\sin (a) \log (\sin (a) \cos (b x)+\cos (a) \sin (b x))-b x \cos (a))}{b^3 \left (\sin ^2(a)+\cos ^2(a)\right )}-\frac{(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c + d*x)^4*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2,x]

[Out]

-((c + d*x)^4*Csc[a + b*x]^2)/(2*b) - (d^4*E^(I*a)*Csc[a]*((2*b^3*x^3)/E^((2*I)*a) + (3*I)*b^2*(1 - E^((-2*I)*
a))*x^2*Log[1 - E^((-I)*(a + b*x))] + (3*I)*b^2*(1 - E^((-2*I)*a))*x^2*Log[1 + E^((-I)*(a + b*x))] - (6*(-1 +
E^((2*I)*a))*(b*x*PolyLog[2, -E^((-I)*(a + b*x))] - I*PolyLog[3, -E^((-I)*(a + b*x))]))/E^((2*I)*a) - (6*(-1 +
E^((2*I)*a))*(b*x*PolyLog[2, E^((-I)*(a + b*x))] - I*PolyLog[3, E^((-I)*(a + b*x))]))/E^((2*I)*a)))/b^5 + (6*
c^2*d^2*Csc[a]*(-(b*x*Cos[a]) + Log[Cos[b*x]*Sin[a] + Cos[a]*Sin[b*x]]*Sin[a]))/(b^3*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)) +
(2*Csc[a]*Csc[a + b*x]*(c^3*d*Sin[b*x] + 3*c^2*d^2*x*Sin[b*x] + 3*c*d^3*x^2*Sin[b*x] + d^4*x^3*Sin[b*x]))/b^2
- (6*c*d^3*Csc[a]*Sec[a]*(b^2*E^(I*ArcTan[Tan[a]])*x^2 + ((I*b*x*(-Pi + 2*ArcTan[Tan[a]]) - Pi*Log[1 + E^((-2*
I)*b*x)] - 2*(b*x + ArcTan[Tan[a]])*Log[1 - E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))] + Pi*Log[Cos[b*x]] + 2*ArcTan[Ta
n[a]]*Log[Sin[b*x + ArcTan[Tan[a]]]] + I*PolyLog[2, E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))])*Tan[a])/Sqrt[1 + Tan[a]
^2]))/(b^4*Sqrt[Sec[a]^2*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)])

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.188, size = 716, normalized size = 5.2 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^4*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)^3,x)

[Out]

6*d^4/b^5*a^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-12*d^4/b^5*a^2*ln(exp(I*(b*x+a)))-12*d^2/b^3*c^2*ln(exp(I*(b*x+a)))+6*d^2/b
^3*c^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+6*d^2/b^3*c^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+6*d^4/b^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2-6*d^4/b^5*ln
(1-exp(I*(b*x+a)))*a^2+6*d^4/b^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2-4*I*d^4/b^2*x^3+8*I*d^4/b^5*a^3+12*d^4*polylog(3,-ex
p(I*(b*x+a)))/b^5+12*d^4*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))/b^5+2*(b*d^4*x^4*exp(2*I*(b*x+a))+4*b*c*d^3*x^3*exp(2*I*(b*
x+a))+6*b*c^2*d^2*x^2*exp(2*I*(b*x+a))+4*b*c^3*d*x*exp(2*I*(b*x+a))-2*I*d^4*x^3*exp(2*I*(b*x+a))+b*c^4*exp(2*I
*(b*x+a))-6*I*c*d^3*x^2*exp(2*I*(b*x+a))-6*I*c^2*d^2*x*exp(2*I*(b*x+a))+2*I*d^4*x^3-2*I*c^3*d*exp(2*I*(b*x+a))
+6*I*c*d^3*x^2+6*I*c^2*d^2*x+2*I*c^3*d)/b^2/(exp(2*I*(b*x+a))-1)^2+12*d^3/b^3*c*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x+12*d^3/
b^4*c*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a+12*d^3/b^3*c*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x-12*I*d^4/b^4*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x-12*I
*d^4/b^4*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x-12*I*d^3/b^4*c*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))-12*I*d^3/b^4*c*polylog(2,-exp(I
*(b*x+a)))+12*I*d^4/b^4*a^2*x-12*I*d^3/b^4*c*a^2-12*I*d^3/b^2*c*x^2-12*d^3/b^4*c*a*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+24*d^3
/b^4*c*a*ln(exp(I*(b*x+a)))-24*I*d^3/b^3*c*a*x

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 2.47741, size = 6129, normalized size = 44.74 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2*(8*(4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 4*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - (2*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + sin(
2*b*x + 2*a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) - (2*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*
a) + 1)*sin(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))*c^3*d/((2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x +
4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)
^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*b) - 24*(4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 4*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - (2*(b*
x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + sin(2*b*x + 2*a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) - (2*(b*x + a)*sin
(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))*a*c^2*d^2/((2*(2*cos(2*b*x + 2*a) -
1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin
(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*b^2) + 24*(4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 4*(
b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - (2*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + sin(2*b*x + 2*a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(b*x + a)
*cos(2*b*x + 2*a) - (2*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))
*a^2*c*d^3/((2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b
*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*b^3) - 8*(4
*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 4*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - (2*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + sin(2*b*x + 2
*a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) - (2*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*s
in(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))*a^3*d^4/((2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2
- 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*
cos(2*b*x + 2*a) - 1)*b^4) + 6*(8*(b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 8*(b*x + a)^2*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 4*(b*x +
a)^2*cos(2*b*x + 2*a) - 4*((b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a) + (b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a))*cos(4*b*x + 4*a) + (2*(
2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*
sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*
x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + (2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b
*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x +
2*a) - 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) - 4*((b*x + a)^2*sin(2*b*x + 2*a) + b*x -
(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + a)*sin(4*b*x + 4*a) + 4*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a))*c^2*d^2/((2*(2*cos(2*b*x + 2*
a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)
*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*b^2) - 12*(8*(b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a)^2
+ 8*(b*x + a)^2*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 4*(b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a) - 4*((b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a) + (b*x
+ a)*sin(2*b*x + 2*a))*cos(4*b*x + 4*a) + (2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 -
4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos
(2*b*x + 2*a) - 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + (2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos
(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x
+ 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) +
1) - 4*((b*x + a)^2*sin(2*b*x + 2*a) + b*x - (b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + a)*sin(4*b*x + 4*a) + 4*(b*x + a)*s
in(2*b*x + 2*a))*a*c*d^3/((2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*
a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) -
1)*b^3) + 6*(8*(b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 8*(b*x + a)^2*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 4*(b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2
*a) - 4*((b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a) + (b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a))*cos(4*b*x + 4*a) + (2*(2*cos(2*b*x + 2*a)
- 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*si
n(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*
x + a) + 1) + (2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4
*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*log(cos(b
*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) - 4*((b*x + a)^2*sin(2*b*x + 2*a) + b*x - (b*x + a)*cos(2*b*x
+ 2*a) + a)*sin(4*b*x + 4*a) + 4*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a))*a^2*d^4/((2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x +
4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) -
4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*b^4) - c^4/sin(b*x + a)^2 + 4*a*c^3*d/(b*sin(b*x + a)^2) - 6*a
^2*c^2*d^2/(b^2*sin(b*x + a)^2) + 4*a^3*c*d^3/(b^3*sin(b*x + a)^2) - a^4*d^4/(b^4*sin(b*x + a)^2) + 2*((6*(b*x
+ a)^2*d^4 + 12*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a) + 6*((b*x + a)^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*cos(4*b*x +
4*a) - 12*((b*x + a)^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (6*I*(b*x + a)^2*d^4 + (12*I*b
*c*d^3 - 12*I*a*d^4)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + (-12*I*(b*x + a)^2*d^4 + (-24*I*b*c*d^3 + 24*I*a*d^4)*(b*x
+ a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) - (6*(b*x + a)^2*d^4 + 12*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b
*x + a) + 6*((b*x + a)^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 12*((b*x + a)^2*d^4 + 2*(b*c*
d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-6*I*(b*x + a)^2*d^4 + (-12*I*b*c*d^3 + 12*I*a*d^4)*(b*x + a))*sin
(4*b*x + 4*a) - (12*I*(b*x + a)^2*d^4 + (24*I*b*c*d^3 - 24*I*a*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b
*x + a), -cos(b*x + a) + 1) - 4*((b*x + a)^3*d^4 + 3*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2)*cos(4*b*x + 4*a) + (-2*I*(
b*x + a)^4*d^4 + (-8*I*b*c*d^3 - 4*(-2*I*a - 1)*d^4)*(b*x + a)^3 + 12*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2)*cos(2*b*x
+ 2*a) - (12*b*c*d^3 + 12*(b*x + a)*d^4 - 12*a*d^4 + 12*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*cos(4*b*x + 4*a) -
24*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*cos(2*b*x + 2*a) - (-12*I*b*c*d^3 - 12*I*(b*x + a)*d^4 + 12*I*a*d^4)*sin(
4*b*x + 4*a) - (24*I*b*c*d^3 + 24*I*(b*x + a)*d^4 - 24*I*a*d^4)*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) - (1
2*b*c*d^3 + 12*(b*x + a)*d^4 - 12*a*d^4 + 12*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*cos(4*b*x + 4*a) - 24*(b*c*d^3
+ (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*cos(2*b*x + 2*a) - (-12*I*b*c*d^3 - 12*I*(b*x + a)*d^4 + 12*I*a*d^4)*sin(4*b*x + 4*a)
- (24*I*b*c*d^3 + 24*I*(b*x + a)*d^4 - 24*I*a*d^4)*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(e^(I*b*x + I*a)) + (-3*I*(b*x + a)
^2*d^4 + (-6*I*b*c*d^3 + 6*I*a*d^4)*(b*x + a) + (-3*I*(b*x + a)^2*d^4 + (-6*I*b*c*d^3 + 6*I*a*d^4)*(b*x + a))*
cos(4*b*x + 4*a) + (6*I*(b*x + a)^2*d^4 + (12*I*b*c*d^3 - 12*I*a*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 3*((b*x +
a)^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - 6*((b*x + a)^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a
))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + (-3*I*(b*x + a)^2*d^4 + (-6*I
*b*c*d^3 + 6*I*a*d^4)*(b*x + a) + (-3*I*(b*x + a)^2*d^4 + (-6*I*b*c*d^3 + 6*I*a*d^4)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*
a) + (6*I*(b*x + a)^2*d^4 + (12*I*b*c*d^3 - 12*I*a*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 3*((b*x + a)^2*d^4 + 2*(
b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - 6*((b*x + a)^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x +
2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + (-12*I*d^4*cos(4*b*x + 4*a) + 24*I*d^4*cos(
2*b*x + 2*a) + 12*d^4*sin(4*b*x + 4*a) - 24*d^4*sin(2*b*x + 2*a) - 12*I*d^4)*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) + (-
12*I*d^4*cos(4*b*x + 4*a) + 24*I*d^4*cos(2*b*x + 2*a) + 12*d^4*sin(4*b*x + 4*a) - 24*d^4*sin(2*b*x + 2*a) - 12
*I*d^4)*polylog(3, e^(I*b*x + I*a)) + (-4*I*(b*x + a)^3*d^4 + (-12*I*b*c*d^3 + 12*I*a*d^4)*(b*x + a)^2)*sin(4*
b*x + 4*a) + (2*(b*x + a)^4*d^4 + (8*b*c*d^3 - (8*a - 4*I)*d^4)*(b*x + a)^3 + (12*I*b*c*d^3 - 12*I*a*d^4)*(b*x
+ a)^2)*sin(2*b*x + 2*a))/(-I*b^4*cos(4*b*x + 4*a) + 2*I*b^4*cos(2*b*x + 2*a) + b^4*sin(4*b*x + 4*a) - 2*b^4*
sin(2*b*x + 2*a) - I*b^4))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 0.694654, size = 2562, normalized size = 18.7 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/2*(b^4*d^4*x^4 + 4*b^4*c*d^3*x^3 + 6*b^4*c^2*d^2*x^2 + 4*b^4*c^3*d*x + b^4*c^4 + 4*(b^3*d^4*x^3 + 3*b^3*c*d^
3*x^2 + 3*b^3*c^2*d^2*x + b^3*c^3*d)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) + (12*I*b*d^4*x + 12*I*b*c*d^3 + (-12*I*b*d^4*x
- 12*I*b*c*d^3)*cos(b*x + a)^2)*dilog(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + (-12*I*b*d^4*x - 12*I*b*c*d^3 + (12*I*
b*d^4*x + 12*I*b*c*d^3)*cos(b*x + a)^2)*dilog(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + (-12*I*b*d^4*x - 12*I*b*c*d^3 +
(12*I*b*d^4*x + 12*I*b*c*d^3)*cos(b*x + a)^2)*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + (12*I*b*d^4*x + 12*I*b*
c*d^3 + (-12*I*b*d^4*x - 12*I*b*c*d^3)*cos(b*x + a)^2)*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - 6*(b^2*d^4*x^2
+ 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2*d^2 - (b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2*d^2)*cos(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a) +
I*sin(b*x + a) + 1) - 6*(b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2*d^2 - (b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2*d
^2)*cos(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) - 6*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4 - (b^2*c^2
*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*cos(b*x + a)^2)*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) - 6*(b^2*c^2*d
^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4 - (b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*cos(b*x + a)^2)*log(-1/2*cos(b*x + a) - 1/2
*I*sin(b*x + a) + 1/2) - 6*(b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + 2*a*b*c*d^3 - a^2*d^4 - (b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x
+ 2*a*b*c*d^3 - a^2*d^4)*cos(b*x + a)^2)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) - 6*(b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d
^3*x + 2*a*b*c*d^3 - a^2*d^4 - (b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + 2*a*b*c*d^3 - a^2*d^4)*cos(b*x + a)^2)*log(-cos(
b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) + 12*(d^4*cos(b*x + a)^2 - d^4)*polylog(3, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + 12*
(d^4*cos(b*x + a)^2 - d^4)*polylog(3, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + 12*(d^4*cos(b*x + a)^2 - d^4)*polylog(3
, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + 12*(d^4*cos(b*x + a)^2 - d^4)*polylog(3, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)))/
(b^5*cos(b*x + a)^2 - b^5)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**4*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (d x + c\right )}^{4} \cos \left (b x + a\right ) \csc \left (b x + a\right )^{3}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^4*cos(b*x + a)*csc(b*x + a)^3, x)